责任编辑极为庞克，请只须埃唐佩县部份文本。
有关交互作用，我们如果都母汤氏这种一句话：
推动力的振幅与两个控制系统的共振振幅完全相同时，控制系统的增益最小，这是交互作用。
很可是，这句话是错的。
你没看错，这句话是错的！
网路上的科学普及经典作品很少会界定“位移交互作用”和“速度交互作用”，这引致有许多人误会了交互作用。
我原先急于单纯写这段话，提呵呵位移交互作用和速度交互作用的差别和造成前提就了事。但是，只如是说交互作用只但是是“买椟还珠”，把理论物理学的一脉相承都舍弃了，我即便却是下定决心慷慨激昂。
在阅读过程中，你可能会不止一次感觉这篇文章答非所问。但是，相信我，坚持看到最后你就会发现：为什么只如是说交互作用是在“买椟还珠”。
（用完备的物理思想，对交互作用进行“降维打击”）
先了解呵呵牛顿第二定律
涉及到运动与力的问题，必然要从牛顿第二定律入手。
F=ma？
外行才用！
责任编辑重在以振动为主题，阐述两套完备的物理方法：微分方程。
牛顿第二定律只但是是个微分方程，微分方程贯穿整个理论物理学。甚至可以说，学物理却不学微分方程，还不如不学物理。
为了把 F=ma 写成微分方程，我们先看一看速度的计算方法：
这个公式计算的是一段时间间隔内的平均速度，理论物理学家不会就此满足，他们更想计算物体在某一瞬间的速度。
这个问题要用微积分解决，只但是这个思想并不复杂，我们只需要把时间间隔选取得足够小（但不是零），小到比你能想到的任何时间间隔都要小。这个足够小的时间间隔是时间的微分。
可以用dt来表示时间的微分。
同样的，我们还需要把位移选取得足够小（但不是零），小到比你能想到的任何位移都要小。这个足够小的位移是位置的微分。
可以用dx来表示位置的微分。
借助时间和位置的微分，我们可以表示出计算物体瞬时速度的公式：
这只但是是数学上的导数，速度是位置对时间求导数。
然后我们可以把对速度做的操作再对加速度做一遍。回想呵呵加速度：
这个公式计算的是一段时间间隔内的平均加速度，依葫芦画瓢，可以得到瞬时加速度：
加速度是速度对时间求导数。
进一步思考：
速度表示的是物体的位置随时间变化的快慢。
加速度表示的是物体的速度随时间变化的快慢。
所以加速度表示的是：
物体的位置随时间变化的快慢随时间变化的快慢。
这句话可能有些绕，只但是是说：
加速度是位置对时间求两次导数，也是二阶导数。可以表示成：
所以可以把牛顿第二定律写成：
这是个微分方程，含有某些量的导数或微分。准确地说，这是个二阶微分方程，求导数的最高阶数是二阶导数。
至此，微分方程被引出了，下面我就借助振动现象来展示呵呵微分方程的威力：
（对交互作用进行“降维打击”）
从简谐振动谈起
简谐振动是最单纯的振动，一切与振动有关的现象都要从简谐振动谈起。
但是我却不想从振动开始谈论简谐振动，我想从“法则”开始这个话题，向我们表明：简谐振动是一定的“法则”和前提之下的必然产物。
这个“法则”是牛顿第二定律，我们只需要给定两个具体的力，求解牛顿第二定律这个微分方程，就可以得到各种可能发生的运动。
我们常说的方程是代数方程，代数方程的解是两个数。
而微分方程的解是两个函数（或者说是代数方程），对于牛顿第二定律，它的解是运动方程，描述着物体的位置随时间变化的规律。
理论物理学的一脉相承是测量与描述。
最好是用数学语言去描述世间万物。
代数方程描述的只是表象，微分方程描述的是表象背后的规律，所以那些伟大的物理公式都是微分方程。
描述简谐振动的方程也仅仅只是表象，对于振动，我们真正需要知道的是振动背后的规律，或者说是法则。
简谐振动背后的法则自然是牛顿第二定律，但是这一次要给出两个具体的力：
振动。
这个公式和胡克定律很像，所以弹簧和物块是演示简谐振动最单纯的模型。
支配这个控制系统的运动状况的法则是牛顿第二定律，此时的牛顿第二定律是：
（k是弹簧的劲度系数，m是物块的质量。）
求解这个微分方程，可以得到物块可能发生的运动模式。
为什么只是可能发生的运动模式，不能明确一点吗？
这是由于想要得到明确的运动模式还需要知道这个模型的初始前提。也是物块的初始位置，以及物块在初始位置时的速度。
此时的牛顿第二定律的解可以有2种运动模式：
1.如果物块的初始位置没有使弹簧被拉伸或压缩，而且物块的速度是零，那么物块将会静止，不会振动。
2.如果物块的初始位置使弹簧被拉伸或压缩了，或者初始位置没有使弹簧被拉伸或压缩，但是物块的速度不为零，那么物块确实会振动。这也是说简谐振动只是这个模型可能发生的一种运动模式。
解微分方程可是个技术活，所以责任编辑直接摆出结果：
（为了不吓到读者，我就不写具体的数学公式了，只画出图像让大家直观感受呵呵各种运动模式。）
简谐振动的振幅仅由控制系统本身的性质下定决心，在这里是由物块的质量m和弹簧的劲度系数k下定决心，这个振幅也被叫作控制系统的共振振幅。
计算共振振幅的公式：
阻尼
实际的振动都有阻尼，增益会不断减小，直到静止。
我仍然不急于从振动开始这个话题，而是从“法则”开始这个话题，向我们表明：有阻尼的振动是一定的“法则”和前提之下的必然产物。
（同样的，不发生振动也是一定的“法则”和前提之下的必然产物。）
阻尼在微分方程里面表现为阻力，这里的阻力通常是指固体在流体中运动时受到的黏滞力：
C是两个与固体的形状和流体的性质有关的常数，v是固体的运动速度，负号表示阻力的方向与固体的运动方向相反。
阻力的公式也可以写成：
此时的牛顿第二定律是：
这个微分方程的解是什么？
答案有些复杂，因为可以分为4种运动模式：
静止，这没什么可说的。
过阻尼、欠阻尼、临界阻尼则是靠弹簧和物块组成的这个控制系统的性质下定决心的：
这也是说有阻尼的振动仅仅只是这个模型可能发生的的一种运动模式，其它运动模式并没有发生振动。
我们试想呵呵，如果我一开始就执着于振动，那么会遗漏多少文本？
推动力
上面谈论的都是无推动力的自由振动，这里要谈论有推动力的受迫振动。
可以把振动的类型分为：
我们在一步步走向最普遍的振动，简谐振动是无阻尼的自由振动，最普遍的振动是有阻尼的受迫振动。
有两种类型的推动力可以引起振动：
周期力
非周期力
非周期力驱动的振动是自激振动，涉及到非线性过程（比如风吹树叶发出声音），只要看到“非线性”三个字，就意味着是理论物理学界的难题。
所以这里只谈论周期力驱动的振动，同样是从“法则”开始这个话题，向我们表明：受迫振动是一定的“法则”和前提之下的必然产物。
周期性的推动力可以表示为：
（ω是推动力的角振幅。）
考虑最普遍的情况，既有阻尼，又有推动力，此时的牛顿第二定律是：
这个微分方程的解只有1种运动模式：
此时的振动振幅不再是控制系统的共振振幅，而是推动力的振幅。
速度交互作用和位移交互作用
仍然考虑最普遍的情况，既有阻尼，又有推动力。
尽管此时控制系统的振动振幅不再是共振振幅，但是共振振幅依旧在影响着控制系统的振动，它下定决心着推动力在两个周期内对物块做的功的多少。
在两个周期内，推动力对物块做的 正功 越多，物块的速度峰值就越大；推动力对物块做的负功越多，物块的速度峰值就越小。
如果推动力在物块运动的整个周期内都做正功，物块的速度峰值将会最小，这是速度交互作用。此时，推动力对系统的能量输入达到最佳状态，所以速度交互作用又被称为能量交互作用。
可以想象，推动力的振幅与控制系统的共振振幅完全相同时，推动力将在物块运动的整个周期内都做 正功，此时就发生了速度交互作用。
事实也确实如此，可以从牛顿第二定律出发，推导出速度峰值计算公式：
补充呵呵β的定义公式：
可以用一些数学方法得到速度峰值最小时（速度交互作用）对应的推动力振幅：
此时推动力的振幅与控制系统的共振振幅完全相同。
接下来又有两个问题：
速度峰值最小，就意味着振幅也最小吗？
光靠脑子想是不可靠的，想要得到可靠的答案，就需要数学计算。
可以从牛顿第二定律出发，推导出增益计算公式：
这个公式的图像是一些资料里经常出现的这张图：
观察上面的公式，可以用一些数学方法得到振幅最小时（位移交互作用）对应的推动力振幅：
很容易看出，增益最小时，推动力的振幅并不等于控制系统的共振振幅。也是说位移交互作用的交互作用振幅并不等于控制系统的共振振幅。
（数学的力量是这么强大，可以把握每两个细节。）
一般工程中所说的交互作用是位移交互作用，位移交互作用又叫增益交互作用。
写在最后
有很多人主次不分，把各种细枝末节捧得太高，执着于“猎奇”，却一直忽视完备的方法论。就交互作用来说，它仅仅只是动力学中的细枝末节。
掌握了两套完备的知识体系，理解那些奇特的现象是水到渠成的事，否则即使你了解了那些新奇的现象，也仅仅只是自以为是。
