向量自回归（VAR）介绍（一） - 网站源码_资源分享

考量下列单纯的双表达式控制系统（字符串 ${yt}$ \{y_t\} 的天数方向受字符串 ${zt}$ \{z_t\} 的超额或往后的前述值的负面影响；字符串 ${zt}$ \{z_t\} 的天数方向受字符串 ${yt}$ \{y_t\}的超额或往后的前述值的负面影响）

$yt=b10-b12zt+γ11yt-1+γ12zt-1+εyt(1)zt=b20-b21yt+γ21yt-1+γ22zt-1+εzt(2)$ \begin{aligned} y_t&=b_{10}-b_{12}z_t+\gamma_{11}y_{t-1}+\gamma_{12}z_{t-1}+\varepsilon_{yt}\qquad(1)\\ z_t&=b_{20}-b_{21}y_t+\gamma_{21}y_{t-1}+\gamma_{22}z_{t-1}+\varepsilon_{zt}\qquad(2) \end{aligned} \\ 其中，假设① $yt$ y_t 和 $zt$ z_t 都是平稳的；② $εyt$ \varepsilon_{yt} 和 $εzt$ \varepsilon_{zt} 是白噪声干扰项，标准差分别为 $σy,σz$ \sigma_y,\sigma_z ；③ ${εyt}$ \{\varepsilon_{yt}\} 和 ${εzt}$ \{\varepsilon_{zt}\} 是独立不相关的白噪声干扰项。

因为最长的滞后长度为1，因此，式(1)和式(2)构成了一个1阶矢量自重回(vector autoregression，VAR)。

因为允许 $yt$ y_t 和 $zt$ z_t相互负面影响，所以，控制系统结构中结合了反馈因素。例如， $-b12$ -b_{12} 是1单位 $zt$ z_t 的变化对 $yt$ y_t 的负面影响， $γ12$ \gamma_{12}表示1单位 $zt-1$ z_{t-1} 对 $yt$ y_t 的负面影响。注意， $εyt$ \varepsilon_{yt} 和 $εzt$ \varepsilon_{zt}分别是 $yt$ y_t 和 $zt$ z_t中的新息（或冲击）。当然，如果 $b21$ b_{21} 不为0，则 $εyt$ \varepsilon_{yt}同时对 $zt$ z_t 有一个间接地负面影响。如果 $b12$ b_{12} 不为0，则 $εzt$ \varepsilon_{zt}同时对 $yt$ y_t 有一个间接地负面影响。

我们可以进一步地将方程写成如下形式：

$[1b12b211][ytzt]=[b10b20]+[γ11γ12γ21γ22][yt-1zt-1]+[εytεzt]$ \begin{bmatrix} 1&b_{12}\\ b_{21}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_t\\ z_t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{10}\\ b_{20} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \gamma_{11}&\gamma_{12}\\ \gamma_{21}&\gamma_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{t-1}\\ z_{t-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_{yt}\\ \varepsilon_{zt} \end{bmatrix} \\

或

$Bxt=Γ0+Γ1xt-1+εt$ Bx_t=\Gamma_0+\Gamma_1x_{t-1}+\varepsilon_t \\

其中，

$B=[1b12b211],xt=[ytzt],Γ0=[b10b20],Γ1=[γ11γ12γ21γ22],εt=[εytεzt]$ \begin{aligned} &B=\begin{bmatrix} 1&b_{12}\\ b_{21}&1 \end{bmatrix}, x_t= \begin{bmatrix} y_t\\ z_t \end{bmatrix}, \Gamma_0= \begin{bmatrix} b_{10}\\ b_{20} \end{bmatrix}, \\ &\Gamma_1= \begin{bmatrix} \gamma_{11}&\gamma_{12}\\ \gamma_{21}&\gamma_{22} \end{bmatrix}, \varepsilon_t= \begin{bmatrix} \varepsilon_{yt}\\ \varepsilon_{zt} \end{bmatrix} \end{aligned} \\

用 $B-1$ B^{-1} 左乘以方程，得到矢量自重回（VAR）模型的标准形式

$xt=A0+A1xt-1+et(3)$ x_t=A_0+A_1x_{t-1}+e_t\qquad(3) \\

式中， $A0=B-1Γ0,A1=B-1Γ1,et=B-1εt$ A_0=B^{-1}\Gamma_0,A_1=B^{-1}\Gamma_1,e_t=B^{-1}\varepsilon_t 。

为了便于标记，我们定义

$A0=[a10a20],A1=[a11a12a21a22],et=[e1te2t]$ A_0= \begin{bmatrix} a_{10}\\ a_{20} \end{bmatrix}, A_1= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix}, e_t= \begin{bmatrix} e_{1t}\\ e_{2t} \end{bmatrix} \\

那么，我们可以将式(3)表示为

$yt=a10+a11yt-1+a12zt-1+e1t(4)zt=a20+a21yt-1+a22zt-1+e2t(5)$ \begin{aligned} y_t&=a_{10}+a_{11}y_{t-1}+a_{12}z_{t-1}+e_{1t}\qquad(4)\\ z_t&=a_{20}+a_{21}y_{t-1}+a_{22}z_{t-1}+e_{2t}\qquad(5) \end{aligned} \\

式(1)、(2)所代表的控制系统和式(4)、(5)所代表的的控制系统的差异在于，第一组被称为结构性VAR或原始控制系统，第二组被称为标准型VAR。

值得注意的是，误差项（即 $e1t,e2t$ e_{1t},e_{2t} ）是由两个冲击 ${εyt},{εzt}$ \{\varepsilon_{yt}\},\{\varepsilon_{zt}\} 的组合。因为

$et=B-1εt=[1b12b211]-1[εytεzt]=11-b12b21[1-b12-b211][εytεzt]$ e_t=B^{-1}\varepsilon_t= \begin{bmatrix} 1&b_{12}\\ b_{21}&1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \varepsilon_{yt}\\ \varepsilon_{zt} \end{bmatrix} =\frac{1}{1-b_{12}{b_{21}}}\begin{bmatrix} 1&-b_{12}\\ -b_{21}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{yt}\\ \varepsilon_{zt} \end{bmatrix} \\

因此，我们很容易得到

$e1t=(εyt-b12εzt)/(1-b12b21)e2t=(εzt-b21εyt)/(1-b12b21)$ \begin{aligned} e_{1t}&=(\varepsilon_{yt}-b_{12}\varepsilon_{zt})/(1-b_{12}b_{21})\\ e_{2t}&=(\varepsilon_{zt}-b_{21}\varepsilon_{yt})/(1-b_{12}b_{21}) \end{aligned} \\

接着，我们有

$E(e1t)=E[(εyt-b12εzt)/(1-b12b21)]=0var(e1t)=E(e1t2)=E[((εyt-b12εzt)/(1-b12b21))2]=(σy2+b12σz2)/(1-b12b21)2$ \begin{aligned} E(e_{1t})&=E[(\varepsilon_{yt}-b_{12}\varepsilon_{zt})/(1-b_{12}b_{21})]=0\\ var(e_{1t})&=E(e_{1t}^2)=E[((\varepsilon_{yt}-b_{12}\varepsilon_{zt})/(1-b_{12}b_{21}))^2]\\ &=(\sigma^2_y+b_{12}\sigma^2_z)/(1-b_{12}b_{21})^2 \end{aligned} \\

并且， $e1t$ e_{1t} 的自协方差为

$E(e1,te1,t-i)=E[(εy,t-b12εz,t)(εy,t-i-b12εz,t-i)]/(1-b12b21)2=0$ E(e_{1,t}e_{1,t-i})=E[(\varepsilon_{y,t}-b_{12}\varepsilon_{z,t})(\varepsilon_{y,t-i}-b_{12}\varepsilon_{z,t-i})]/(1-b_{12}b_{21})^2=0

因此， ${e1t}$ \{e_{1t}\}是一个平稳的过程，均值为0，方差恒定，并且所有的自协方差为0。同理 ${e2t}$ \{e_{2t}\}。

所要注意的是 $e1t$ e_{1t} 和 $e2t$ e_{2t} 是相关的，它们的互协方差为

$一般情况下 cov(e1t,e2t)=E(e1te2t)=E[(εyt-b12εzt)(εzt-b21εyt)]/(1-b12b21)2=-(b21σy2+b12σz2)/(1-b12b21)2\neq0(一般情况下)$ \begin{aligned} cov(e_{1t},e_{2t})&=E(e_{1t}e_{2t})=E[(\varepsilon_{yt}-b_{12}\varepsilon_{zt})(\varepsilon_{zt}-b_{21}\varepsilon_{yt})]/(1-b_{12}b_{21})^2\\ &=-(b_{21}\sigma_y^2+b_{12}\sigma_z^2)/(1-b_{12}b_{21})^2\\ &\neq 0\,\,\text{(一般情况下)} \end{aligned} \\

所以，两个冲击 $e1t$ e_{1t} 和 $e2t$ e_{2t} 是相关的。在特殊情况下，令 $b12=b21=0$ b_{12}=b_{21}=0（无同期负面影响），则冲击不相关。

把 $e1t$ e_{1t} 和 $e2t$ e_{2t}冲击的方差-协方差矩阵写为

$Σ=[var(e1t)cov(e1t,e2t)cov(e1t,e2t)var(e2t)]$ \Sigma= \begin{bmatrix} var(e_{1t})&cov(e_{1t},e_{2t}) \\ cov(e_{1t},e_{2t})&var(e_{2t}) \end{bmatrix} \\

因为 $Σ$ \Sigma的所有元素在天数上都是独立的，所以可使用更紧凑的形式

$Σ=[σ12σ12σ21σ22]$ \Sigma= \begin{bmatrix} \sigma_1^2&\sigma_{12}\\ \sigma_{21}&\sigma_2^2 \end{bmatrix} \\

其中， $var(eit)=σi2,cov(e1t,e2t)=σ12=σ21$ var(e_{it})=\sigma^2_i,cov(e_{1t},e_{2t})=\sigma_{12}=\sigma_{21} 。

参考文献：

沃尔特·恩格斯.《应用计量经济学：天数字符串分析》.机械工业出版社.2012