Stata预处理事例： VAR数学模型Stata预处理事例
一、VAR数学模型简述
\quad \quad矢量自重回数学模型（vector autoregressive model，全称VAR数学模型）亦然阶段性方程组数学模型，由Sims于1980年明确提出。该数学模型不以中国经济方式论为依照，选用多方程阿提斯鲁夫尔谷的方式，在数学模型的每两个方程中，内生性表达式对数学模型的全数内生性自表达式的发展缓慢项展开重回，从而估算全数内生性表达式的静态亲密关系，常见于预估互相联络的天数字符串控制系统和预测乱数反气旋对表达式控制系统的静态压制。
二、VAR数学模型化解的计算方式难题
\quad \quad
现代的博弈论一般来说以适当的中国经济方式论为依照，企图借助数学模型来叙述中国经济表达式间的亲密关系。如科普曼斯（poOKmans1950）和戴维－科普曼斯（Hood-poOKmans1953）明确提出的由线性控制系统组形成的二次方程组数学模型，在20世纪末五、六十年代曾名噪一时，其缺点主要就是对每一方程的状态模块和说明表达式的相关难题给与了综合考虑，明确提出了辅助工具表达式法、两期最轻二加法、三期最轻二加法、非常有限重要信息很大似然法和全然重要信息很大似然法等模块的估算方式。这种建模方式用于研究复杂的宏观中国经济难题，有时多达万余个内生性表达式。当时主要就用于预估和政策预测。
\quad \quad但实际中，这种数学模型的效果并不令人满意，主要就存在以下难题：
\quad \quad1.这种数学模型是在中国经济方式论指导下建立起来的结构数学模型。遗憾的是中国经济方式论并未明确的给出表达式间的静态亲密关系；
\quad \quad2.内生性、外生表达式的划分难题较为复杂；
\quad \quad3.数学模型的识别难题，当数学模型不可识别时，为达到可识别的目的，常要将不同的辅助工具表达式加到各方程中，一般来说这种辅助工具表达式的说明能力很弱；
\quad \quad4.若表达式亦然平稳的，则会违反假设，带来更严重的伪重回难题。
\quad \quad在预测自表达式的发展缓慢表达式带来的影响时，用普通的二次方程组处理极为不方便。首先普通二次方程组在\quad \quad表达式的选取上要考虑表达式是内生性表达式还是外生表达式，有时候还会遗漏某些重要的发展缓慢表达式，而VAR数学模型把所有的表达式都作为内生性表达式来处理，从而减少了虽然主观判断错误而增加了二次方程组数学模型中的不确定性。本文将对VAR数学模型展开控制系统介绍。三、VAR数学模型的数学原理
1. VAR数学模型定义
\quad \quad VAR数学模型是自重回数学模型的阿提斯鲁夫尔谷方式，所以称矢量自重回数学模型。假设y1,ty_{1,t},y2,ty_{2,t}
间存在亲密关系，如果分别建立两个自重回数学模型，则无法捕捉两个表达式间的亲密关系。如果选用阿提斯鲁夫尔谷的方式，就可以建立起两个表达式间的亲密关系。VAR数学模型的结构与两个模块相关。两个是所含表达式个数N，两个是最大发展缓慢阶数k。
以两个表达式y1t，y2t发展缓慢1期的VAR模型为例：{y1,t=μ1+π11.1y1,t−1+π12.1y2,t−1+u1ty2,t=μ2+π21.1y1,t−1+π22.1y2,t−1+u2t\left\{\begin{array}{l} y_{1, t}=\mu_{1}+\pi_{11.1} y_{1, t-1}+\pi_{12.1} y_{2, t-1}+u_{1 t} \\ y_{2, t}=\mu_{2}+\pi_{21.1} y_{1, t-1}+\pi_{22.1} y_{2, t-1}+u_{2 t} \end{array}\right. \\
\quad \quad 其中 u1t,u2t∼IID(0,σ2),Cov(u1t,u2t)=0u_{1 t}, u_{2 t} \sim \operatorname{IID}\left(0, \sigma^{2}\right), \operatorname{Cov}\left(u_{1 t}, u_{2 t}\right)=0。写成矩阵方式是：
[y1ty2t]=[μ1μ2]+[π11.1π12.1π21.1π22.1][y1,t−1y2,t−1]+[u1tu2t]∣\left[\begin{array}{l} y_{1 t} \\ y_{2 t} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} \pi_{11.1} & \pi_{12.1} \\ \pi_{21.1} & \pi_{22.1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} y_{1, t-1} \\ y_{2, t-1} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} u_{1 t} \\ u_{2 t} \end{array}\right] \mid \\
设，Yt=[y1ty2t],μ=[μ1μ2],Π1=[π11.1π12.1π21.1π22.1],ut=[u1tu2t]\boldsymbol{Y}_{t}=\left[\begin{array}{l} y_{1 t} \\ y_{2 t} \end{array}\right], \boldsymbol{\mu}=\left[\begin{array}{l} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{array}\right], \boldsymbol{\Pi}_{1}=\left[\begin{array}{ll} \pi_{11.1} & \pi_{12.1} \\ \pi_{21.1} & \pi_{22.1} \end{array}\right], \boldsymbol{u}_{t}=\left[\begin{array}{l} u_{1 t} \\ u_{2 t} \end{array}\right]则， Yt=μ+Π1Yt−1+ut\boldsymbol{Y}_{t}=\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{\Pi}_{1} \boldsymbol{Y}_{t-1}+\boldsymbol{u}_{t}那么，含有N个表达式发展缓慢k期的VAR数学模型表示如下：
Yt=μ+Π1Yt−1+Π2Yt−2+…+ΠtYt−k+ut,ut∼IID(0,Ω)\boldsymbol{Y}_{t}=\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{\Pi}_{1} \boldsymbol{Y}_{t-1}+\boldsymbol{\Pi}_{2} \boldsymbol{Y}_{t-2}+\ldots+\boldsymbol{\Pi}_{t} \boldsymbol{Y}_{t-k}+\boldsymbol{u}_{t}, \quad \boldsymbol{u}_{t} \sim \operatorname{IID}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Omega}) \\
其中，Yt=(y1,ty2,t…yN,t)′\boldsymbol{Y}_{t}=\left(\begin{array}{lll} y_{1, t} & y_{2, t} \ldots & \left.y_{N, t}\right)^{\prime} \end{array}\right. , μ=(μ1μ2…,μN)′\boldsymbol{\mu}=\left(\mu_{1} \quad \mu_{2} \ldots, \mu_{N}\right)^{\prime}, ut=(u1tu2,t…uNt)′,\boldsymbol{u}_{t}=\left(\begin{array}{llll} u_{1 t} & u_{2, t} \ldots u_{N t} \end{array}\right)^{\prime},
Πj=[π11.jπ12.j⋯π1N.jπ21.jπ22.j⋯π2N.j⋮⋮⋱⋮πN1.jπN2.j⋯πNN.j],j=1,2,…,k\boldsymbol{\Pi}_{\boldsymbol{j}}=\left[\begin{array}{cccc} \pi_{11 . j} & \pi_{12 . j} & \cdots & \pi_{1 N . j} \\ \pi_{21 . j} & \pi_{22 . j} & \cdots & \pi_{2 N . j} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \pi_{N 1 . j} & \pi_{N 2 . j} & \cdots & \pi_{N N . j} \end{array}\right], \quad j=1,2, \ldots, k \\
YtY_t为N×1N \times 1阶天数字符串列矢量，μ\boldsymbol{\mu}为N×1N \times 1阶常数项列矢量，Π1,…,Πk \Pi_{1}, \ldots, \Pi_{k} 均为N×NN \times N阶模块矩阵，ut∼IID(0,Ω)u_{t} \sim \operatorname{IID}(0, \Omega) 是N×1N \times 1阶乱数误差列矢量，其中每两个元素都亦然自相关的，但不同方程对应的乱数误差项间可能存在相关。因VAR数学模型中每一方程的右侧只含有内生性变量的发展缓慢项，其与utu_t是不相关的，所以可以用OLS法依次估算每两个方程，得到的模块估算量都具有一致性。
2. 平稳性检测
\quad \quad VAR数学模型稳定的充分与必要条件是Π1\boldsymbol{\Pi}_{1}
的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心半径为1的圆称为单位圆）。
\quad \quad （1）以单方程AR(2):yt=ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+ut\operatorname{AR}(2): y_{t}=\phi_{1} y_{t-1}+\phi_{2} y_{t-2}+u_{t}为例，将其改写为(1−ϕ1L−ϕ2L2)yt=Φ(L)yt=ut\left(1-\phi_{1} L-\phi_{2} L^{2}\right) y_{t}=\Phi(L) y_{t}=u_{t} \\
\quad \quad yty_t稳定的条件是Φ(L)=0\Phi(L)=0
的根必须在单位圆以外。
\quad \quad （2）对于VAR数学模型，用特征方程判别稳定性。以Yt=μ+ΠlYt−1+utY_{t}=\mu+\Pi_{l} Y_{t-1}+u_{t}为例，改写为(I−Π1L)Yt=μ+ut\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{\Pi}_{1} L\right) \boldsymbol{Y}_{t}=\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{u}_{t} \\
\quad \quad 其中A(L)=(I−ΠIL)A(L)=\left(I-\Pi_{I} L\right)。VAR数学模型稳定的条件是特征方程|ΠI−λI|=0\left|\Pi_{I}-\lambda I\right|=0的根都在单位圆以内。特征方程 |Π1−λI|=0\left|\Pi_{1}-\lambda I\right|=0的根就是Π1\Pi_{1}的特征值。
3. VAR数学模型的脉冲响应函数和方差分解
\quad \quad
虽然VAR数学模型模块的OLS估算量具有一致性，单个模块估算值的中国经济说明是很困难的。要想对两个VAR数学模型做出预测，一般来说是观察控制系统的脉冲响应函数和方差分解。
\quad \quad（1）脉冲响应函数
\quad \quad脉冲响应函数叙述两个内生性表达式对误差压制的反应。具体地说，它叙述的是在乱数误差项上施加两个标准差大小的压制后对内生性表达式的当期值和未来值所带来的影响。
\quad \quad 对于如下VAR数学模型，y1,ty_{1,t}表示GDP，y2,ty_{2,t}表示货币供应量，构建数学模型如下：{y1,t=μ1+π11.1y1,t−1+π12.1y2,t−1+u1,ty2,t=μ2+π21.1y1,t−1+π22.1y2,t−1+u2,t\left\{\begin{array}{l} y_{1, t}=\mu_{1}+\pi_{11.1} y_{1, t-1}+\pi_{12.1} y_{2, t-1}+u_{1 ,t} \\ y_{2, t}=\mu_{2}+\pi_{21.1} y_{1, t-1}+\pi_{22.1} y_{2, t-1}+u_{2 ,t} \end{array}\right. \\
\quad \quad 在上述数学模型中，如果误差u1tu_{1 t} 和u1tu_{1 t}不相关，则u1,tu_{1,t} 是y1,ty_{1, t}的误差项，u2,tu_{2,t}是y2,ty_{2, t}的误差项。u2,tu_{2,t}
的脉冲响应函数衡量当期两个标准差的货币压制对GDP和货币存量的当前值和未来值的影响。
\quad \quad 对于每两个VAR数学模型都可以表示成为两个无限阶的矢量MA(∞)过程。具体方式是对于任何两个VAR(k)数学模型都可以通过友矩阵变换改写成两个VAR(1)数学模型。Yt=A1Yt−1+Ut\mathbf{Y}_{\mathrm{t}}=\mathbf{A}_{1} \mathbf{Y}_{\mathrm{t}-1}+\mathbf{U}_{\mathrm{t}} \\ (I−LA1)Yt=Ut\left(\boldsymbol{I}-L \mathbf{A}_{1}\right) \mathbf{Y}_{\mathrm{t}}=\mathbf{U}_{\mathrm{t}} \\ Yt=(I−LA1)−1Ut=Ut+A1Ut−1+A12Ut−2+…+A1sUt−s+…\mathbf{Y}_{\mathrm{t}}=\left(\boldsymbol{I}-L \mathbf{A}_{1}\right)^{-1} \mathbf{U}_{\mathrm{t}}=\mathbf{U}_{\mathrm{t}}+\mathbf{A}_{1} \mathbf{U}_{\mathrm{t}-1}+\mathbf{A}_{1}^{2} \mathbf{U}_{\mathrm{t}-2}+\ldots+\mathbf{A}_{1}^{\mathrm{s}} \mathbf{U}_{\mathrm{t}-\mathrm{s}}+\ldots \\
这是两个无限阶的矢量MA(∞)过程。或写成，
Yt+s=Ut+s+A1Ut+s−1+A12Ut+s−2+…+A1sUt+…\mathbf{Y}_{\mathbf{t}+\mathrm{s}}=\mathbf{U}_{\mathrm{t}+\mathrm{s}}+\mathbf{A}_{1} \mathbf{U}_{\mathrm{t}+\mathrm{s}-1}+\mathbf{A}_{1}^{2} \mathbf{U}_{\mathrm{t}+\mathrm{s}-2}+\ldots+\mathbf{A}_{1}{ }^{\mathrm{s}} \mathbf{U}_{\mathbf{t}}+\ldots \\ Yt+s=Ut+s+Ψ1Ut+s−1+Ψ2Ut+s−2+…+ΨsUt+…\mathbf{Y}_{\mathrm{t}+\mathrm{s}}=\mathbf{U}_{\mathrm{t}+\mathrm{s}}+\boldsymbol{\Psi}_{1} \mathbf{U}_{\mathrm{t}+\mathrm{s}-1}+\boldsymbol{\Psi}_{2} \mathbf{U}_{\mathrm{t}+\mathrm{s}-2}+\ldots+\mathbf{\Psi}_{\mathrm{s}} \mathbf{U}_{\mathrm{t}}+\ldots \\
其中，
Ψ1=A1,Ψ2=A12,…,Ψs=A1s\boldsymbol{\Psi}_{1}=\mathbf{A}_{1}, \boldsymbol{\Psi}_{2}=\mathbf{A}_{1}^{2}, \ldots, \boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{s}}=\mathbf{A}_{1}^{\mathrm{s}} \\
显然，
Ys=∂Yt+s∂Ut\mathbf{Y}_{\mathrm{s}}=\frac{\partial \mathbf{Y}_{t+s}}{\partial \mathbf{U}_{t}} \\
\quad \quad Ψs\Psi_{\mathrm{s}}中第i行第j列元素表示的是，令其他误差项在任何时期都不变的条件下，当第j个表达式对应的误差项uj t在t期受到两个单位的冲击后，对第i个内生性表达式在t+s期造成的影响。 把s中第i行第j列元素看作是发展缓慢期s的函数称作脉冲响应函数，脉冲响应函数叙述了其他表达式在t期和以前各期保持不变的前提下，yi,t+sy_{i,t+s}对yj,ty_{j,t}时一次压制的响应过程。
∂yi,t+s∂ujt,s=1,2,3,…\frac{\partial y_{i, t+s}}{\partial u_{j_{t}}}, \mathrm{~s}=1,2,3, \ldots \\
\quad \quad 对于每两个VAR数学模型都可以表示成为两个无限阶的矢量MA(∞)过程。
Yt=μ+ut+Ψ1ut−1+Ψ2ut−2+…\boldsymbol{Y}_{t}=\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{u}_{t}+\boldsymbol{\Psi}_{1} \boldsymbol{u}_{t-1}+\boldsymbol{\Psi}_{2} \boldsymbol{u}_{t-2}+\ldots \\
\quad \quad 对于utu_t
中的每两个误差项，内生性表达式都对应着两个脉冲响应函数。这样，两个含有4个内生性表达式的VAR将有16个脉冲响应函数。
\quad \quad（2）方差分解
\quad \quad新息的当期值和未来值。方差分解主要就取决于方程的顺序。4. VAR数学模型发展缓慢期k的选择
\quad \quad
建立VAR数学模型除了要满足平稳性条件外，还应该正确确定发展缓慢期k。如果发展缓慢期太少，误差项的自相关会很严重，并导致模块的非一致性估算。在VAR数学模型中适当加大k值（增加发展缓慢表达式个数），可以消除误差项中存在的自相关；但从另一方面看，k值又不宜过大。k值过大会导致自由度减小，直接影响数学模型模块估算量的有效性。选择k值的方式主要就有以下几种：
\quad \quad （1）用LR统计算方式选择k值。LR=−2(logL(k)−logL(k+1))∼χ2(N2)L R=-2\left(\log L_{(k)}-\log L_{(k+1)}\right) \sim \chi^{2}\left(N^{2}\right) \\
其中logL(k)\log L_{(k)}和logL(k+1)\log L_{(k+1)}
分别是VAR(k) 和 VAR(k+1) 数学模型的很大似然估算值，k表示VAR数学模型中发展缓慢表达式的最大发展缓慢期。当VAR数学模型发展缓慢期的增加不会给很大似然函数值带来显著性增大时，即LR统计算方式的值小于临界值时，新增加的发展缓慢表达式对VAR数学模型毫无意义。
\quad \quad （2）用赤池（Akaike）重要信息准则 (AIC) 选择k值。AIC=log(∑t=1Tu^t2T)+2kTA I C=\log \left(\frac{\sum_{t=1}^{T} \hat{u}_{t}^{2}}{T}\right)+\frac{2 k}{T} \\
其中 u^t\hat{u}_{t}表示状态模块，T表示样本容量，k表示最大发展缓慢期。选择k值的原则是在增加k值的过程中使AIC的值达到最轻。\quad \quad （3）用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。
SC=log(∑t=1Tu^t2T)+klogTTS C=\log \left(\frac{\sum_{t=1}^{T} \hat{u}_{t}^{2}}{T}\right)+\frac{k \log T}{T} \\
其中 u^t\hat{u}_{t}表示状态模块，T表示样本容量，k表示最大发展缓慢期。选择最佳k值的原则是在增加k值的过程中使SC值达到最轻。
5. 格兰杰非因果性检测
\quad \quadVAR数学模型还可用来检测两个表达式与另两个表达式是否存在因果亲密关系，xtx_t对yty_t是否存在因果亲密关系的检测可通过检测VAR数学模型以yty_t为被说明表达式的方程中是否可以把xtx_t的全数发展缓慢表达式剔除掉而完成。比如VAR 数学模型中以yty_t为被说明表达式的方程表示如下：
yt=∑i=1kαiyt−i+∑i=1kβixt−i+u1,ty_{\mathrm{t}}=\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} y_{t-i}+\sum_{i=1}^{k} \beta_{i} x_{t-i}+u_{1, t} \\
则检测xtx_t对yty_t存在格兰杰非因果性的零假设是
H0:β1=β2=…=βk=0\mathrm{H}_{0}: \quad \beta_{1}=\beta_{2}=\ldots=\beta_{k}=0 \\
如果xtx_t的任何两个发展缓慢表达式的重回模块的估算值存在显著性，则拒绝原假设，xtx_t对yty_t存在格兰杰因果亲密关系。
6. VAR数学模型中协整矢量的估算与检测
（1）VAR数学模型中协整矢量的估算
\quad \quad 假设 ut∼IID(0,Ω)\boldsymbol{u}_{t} \sim \mathrm{IID}(0, \Omega), 当ut\boldsymbol{u}_{t} 中存在自相关时, 只要在 VAR 数学模型中适当增加内 生表达式的发展缓慢阶数, 就能达到 ut\boldsymbol{u}_{t} 非自相关的要求, 即很大似然估算法。
Yt=Π1Yt−1+Π2Yt−1+…+ΠkYt−k+ΦDt+ut,ut∼IID(0,Ω)\boldsymbol{Y}_{t}=\boldsymbol{\Pi}_{1} \boldsymbol{Y}_{t-1}+\boldsymbol{\Pi}_{2} \boldsymbol{Y}_{t-1}+\ldots+\boldsymbol{\Pi}_{k} \boldsymbol{Y}_{t-k}+\Phi D_{t}+\boldsymbol{u}_{t}, \quad \boldsymbol{u}_{t} \sim \operatorname{IID}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Omega}) \\
\quad \quad 上述 VAR\mathrm{VAR} 数学模型中, Yt\boldsymbol{Y}_{t} 是 N×1N \times 1 阶列矢量, DtD_{t} 表示 d×1d \times 1 阶确定项矢量 (d(d 表示 确定性表达式个数), 用来叙述常数项 、μ、\boldsymbol{\mu} 、 天数趋势项 tt 、季节虚拟表达式 (如果需要) 和其他一些有必要设置的虚拟表达式。 Φ\Phi是确定性表达式DtD_{t} 的 N×dN \times d 阶系数矩阵。 其中每一行对应 VAR 数学模型中的两个方程。则矢量误差修正数学模型为
ΔYt=ΠYt−1+Γ1ΔYt−1+I2ΔYt−2+…+Ik−1ΔYt−(k−1)+ΦDt+ut\Delta \boldsymbol{Y}_{t}=\boldsymbol{\Pi} \boldsymbol{Y}_{t-1}+\boldsymbol{\Gamma}_{1} \Delta \boldsymbol{Y}_{t-1}+\boldsymbol{I}_{2} \Delta \boldsymbol{Y}_{t-2}+\ldots+\boldsymbol{I}_{k-1} \Delta \boldsymbol{Y}_{t-(k-1)}+\Phi D_{t}+\boldsymbol{u}_{t} \\
\quad \quad 其中,
Ij=∑i=j+1kΠi,j=1,2,…,k−1,Π=Γ0−I=∑i=1kΠi−I=Π1+Π2+…+Πk−I\begin{gathered} \boldsymbol{I}_{j}=\sum_{i=j+1}^{k} \Pi_{i}, j=1,2, \ldots, k-1, \\ \boldsymbol{\Pi}=\boldsymbol{\Gamma}_{0}-\boldsymbol{I}=\sum_{i=1}^{k} \boldsymbol{\Pi}_{i}-\boldsymbol{I}=\boldsymbol{\Pi}_{1}+\boldsymbol{\Pi}_{2}+\ldots+\boldsymbol{\Pi}_{k}-\boldsymbol{I} \end{gathered} \\
|（2）VAR 数学模型中协整矢量的检测
\quad \quad 检测存在 rr 个协整矢量, 即 (N−r)(N-r) 个非协整矢量, 或者 (N−r)(N-r) 个单位根, 可以表达为适当 (N−r)(N-r) 个特征值, λr+1,…,λN\lambda_{r+1}, \ldots, \lambda_{N}, 为零。 上述 LRL R 检测是两个连续检测过程。
ΔYt=ΠYt−1+Γ1ΔYt−1+I2ΔYt−2+…+Ik−1ΔYt−(k−1)+ΦDt+ut\Delta \boldsymbol{Y}_{t}=\boldsymbol{\Pi} \boldsymbol{Y}_{t-1}+\boldsymbol{\Gamma}_{1} \Delta \boldsymbol{Y}_{t-1}+\boldsymbol{I}_{2} \Delta \boldsymbol{Y}_{t-2}+\ldots+\boldsymbol{I}_{k-1} \Delta \boldsymbol{Y}_{t-(k-1)}+\Phi D_{t}+\boldsymbol{u}_{t} \\
\quad \quad 1) 首先从检测 r=0r=0 开始, 即在上述 VAR 数学模型中不存在协整矢量（含有 NN 个单位根)。如果 r=0r=0 不能被拒绝 (LR<(L R< 临界值), 说明 NN个表达式间不存在协整 亲密关系, 检测结束; 如果r=0r=0 被拒绝 ( “>LR>L R>
临界值), 继续检测;
\quad \quad 2) r≤1r \leq 1, 即上述数学模型中存在 1 个协整矢量 (含有 N−1\mathrm{N}-1 个单位根)。如果 r≤1r \leq 1 不能被拒绝（LR << 临界值), 检测结束; 如果 r≤1r \leq 1被拒绝, 继续检测;
\quad \quad 3) r≤N−1\mathrm{r} \leq \mathrm{N}-1, 即上述数学模型中存在 N−1\mathrm{N}-1 个协整矢量 (含有 1 个单位根)。如果 r≤N−1r \leq N-1 不能被拒绝 (LR<(L R<临界值), 检测结束; 如果r≤N−1r \leq N-1 被拒绝, 说明 r=Nr=N; 在检测过程中, 比如 r≤r∗−1r \leq r^{*}-1 已经被拒绝, 但 r≤r∗r \leq r^{*}不能被拒绝, 则结论是 VAR 数学模型中存在r∗r^{*}个协整矢量;
\quad \quad 4) 协整检测过程中的每一步检测都属于右单端检测。四、VAR数学模型的特点
1. 特点
\quad \quad
（1）VAR数学模型不以严格的中国经济方式论为依照。在建模过程中只需明确两件事：第一，哪些表达式应进入数学模型；第二，发展缓慢阶数k的确定；
\quad \quad（2）VAR数学模型对模块不施加零约束（如t检测）；
\quad \quad（3）VAR数学模型的说明变量中不含t期表达式，所有与二次方程组数学模型相关的难题均不存在；
\quad \quad（4）VAR数学模型需估算的模块较多。如VAR数学模型含3个表达式（N=3），最大发展缓慢期为 k=2，则有：PN2 = 2×3^2 =18 个模块需要估算；
\quad \quad （5）当样本容量较小时，多数模块估算的精度较差，故需大样本，一般n>50。2. 缺点
\quad \quad
（1）它非常简单，数学模型工作者无需为某个表达式是内生性还是外生操心，VAR数学模型中所有的表达式都是内源性的；
\quad \quad（2）数学模型提供了丰富的结构，可以捕获更多的数据特征。VAR数学模型允许表达式的值依赖于它自己的发展缓慢和其他表达式的发展缓慢，从而将单表达式自重回数学模型推广到多元天数字符串表达式组成的矢量自重回数学模型；
\quad \quad（3）数学模型估算也很简单，数学模型中每一方程都可以用OLS法单独估算。这是因为数学模型右侧所有表达式都是预先确定的，在t时刻它们是已知的，用OLS法估算模块，估算量具有一致性和有效性；
\quad \quad（4）在大多数情况下，VAR数学模型的预估比那些复杂得多的现代二次方程数学模型要更准确。这主要就是虽然VAR数学模型常常可以为了避免保证结构数学模型的可识别性而施加的限制的影响。3. 缺点
\quad \quad
（1）没有根基，不以任何中国经济方式论为依照；
\quad \quad（2）自由度的丧失，假设我们有两个三表达式的VAR数学模型，每一方程中每一表达式有12期滞后，从而使得每一方程至少需要估算36个模块，估算这么大数目的模块，将消耗大量的自由度，带来估算难题；
\quad \quad（3）对得到的VAR数学模型系数很难说明，这是因为这类数学模型缺乏方式论背景；
\quad \quad （4）当样本容量太小时，多数模块估算的精度较差，故需大样本。
